Dipartimento di Matematica "Giuseppe Peano"

Descrizione del progetto

Una caratteristica distintiva della geometria algebrica è che l'insieme di tutte le varietà algebriche o dei fasci coerenti di un dato tipo può essere spesso dotato di una struttura naturale di varietà algebrica, chiamata Spazio dei Moduli. Questo fatto era noto e utilizzato almeno fin dai lavori di Riemann (che inventò il termine Moduli), ma si è consolidato su un terreno matematico rigoroso durante la seconda metà del XX secolo, quando la teoria dei moduli cominciò a fiorire grazie alle opere fondazionali di Grothendieck, Mumford, Artin e molti altri. Da allora, la Teoria dei Moduli è lo studio delle proprietà geometriche degli Spazi dei Moduli in relazione alle proprietà geometriche degli oggetti parametrizzati. Un'altra caratteristica distintiva della geometria algebrica è l'esistenza di una relazione di equivalenza naturale più debole dell'isomorfismo, vale a dire l'equivalenza birazionale. Diciamo che due varietà algebriche sono birazionali se hanno un aperto di Zariski isomorfo, o equivalentemente se i loro campi di funzioni razionali sono isomorfi. Lo studio delle varietà algebriche a meno di equivalenza birazionale costituisce un'ampia area della geometria algebrica: la Geometria Birazionale. La tecnica più potente nella Geometria Birazionale è il Minimal Model Program (MMP), introdotto dalla medaglia Fields Mori negli anni ’80 come generalizzazione della celebre classificazione birazionale delle superfici raggiunta dalla scuola italiana all’inizio del XIX secolo. Nel MMP si parte da una varietà arbitraria e si cerca di semplificarla, senza cambiarne la classe di equivalenza birazionale, attraverso una sequenza (non unica) di trasformazioni birazionali elementari (chiamate passi della MMP). Gli ultimi risultati importanti sull’MMP sono stati premiati con la medaglia Fields di Birkar. Esiste un'interazione interessante e, in un certo senso, alquanto misteriosa, tra Spazi di Moduli e Geometria Birazionale, che procede nei due modi seguenti. Da un lato, quando si costruisce uno spazio di moduli di qualche tipo di varietà o fasci, si è spesso costretti a scegliere una condizione di stabilità adeguata. Lo spazio delle condizioni di stabilità ammette una scomposizione in camere tale che: (1) se si varia la condizione di stabilità all'interno di una data camera, allora lo Spazio di Moduli associato non cambia; (2) se una condizione di stabilità attraversa una parete, allora i corrispondenti Spazi di Moduli subiscono alcune modifiche birazionali che spesso possono essere descritte come fasi di un MMP. D'altra parte, se si considera un dato Spazio di Moduli e gli si applica un MMP, i passi di questo MMP tendono ad avere un'interpretazione modulare, e più precisamente sono spesso Spazi di Moduli della stessa specie di oggetti ma rispetto a diverse condizioni di stabilità. Intendiamo studiare questo tipo di interazioni in alcuni spazi di moduli classici, come curve, varietà abeliane, fasci su superfici e fibrati principali su curve, e in alcune interessanti classi di varietà, come le varietà Hyperkaehler, gli spazi "Mori dream" e le varietà di Fano.