• Dottorati e post-dottorati
• PhD

A tali indirizzi, l'interessato potrà trovare ogni informazione rilevante circa la struttura generale delle attività, le regole amministrative delle Scuole di Dottorato e le prove di accesso, in particolare per gli studenti provenienti dall'estero. 

I curricula previsti per il conseguimento del titolo di dottorato sono i seguenti:

• Algebra
• Analisi matematica e applicazioni
• Analisi numerica
• Didattica della matematica
• Geometria
• Fisica matematica
• Logica matematica
• Probabilità e Statistica matematica
• Storia delle matematiche

ALGEBRA
Algebra: Algebra commutativa, algebra computazionale, metodi omologici, applicazioni alla geometria algebrica, gruppi algebrici e loro rappresentazioni. 
Teoria dei numeri: metodi analitici, funzione zeta, applicazioni della K-teoria alla teoria dei numeri, teoria di Arakelov. 

ANALISI MATEMATICA E APPLICAZIONI 
Analisi microlocale per le equazioni a derivate parziali lineari e nonlineari 
Esistenza e regolarità per le equazioni con caratteristiche multiple. Teoria spettrale per equazioni alle derivate parziali. Operatori integrali di Fourier. Operatori pseudodifferenziali e operatori para-differenziali. Analisi tempo-frequenza e analisi armonica numerica. Equazioni di evoluzione alle derivate parziali 
Equazioni della fluidodinamica. Soluzioni discontinue di problemi iperbolici nonlineari e lineari con coefficienti discontinui. Equazioni paraboliche ed ellittiche di tipo Kolmogorov e studio dei legami con le equazioni differenziali stocastiche. Modelli matematici in biomedicina: dialisi, chemioterapie. Trattamento numerico delle equazioni di evoluzione. Equazioni funzionali 
Equazioni funzionali (secondo Aczél-Kuczma) di rango 2; problemi di “stabilità” (nel senso di Hyers) o di equivalenza per equazioni su domini ristretti negli spazi normati o pre-Hilbertiani. Metodi variazionali ed applicazioni alle equazioni differenziali 
Metodi variazionali per equazioni ellittiche nonlineari ed applicazioni. Superfici parametriche a curvatura media assegnata. Gamma convergenza, problemi di controllo ottimo e tecniche di penalizzazione, omogeneizzazione. Sistemi dinamici ed equazioni differenziali ordinarie 
Integrabilità e non integrabilità di sistemi Hamiltoniani, vincoli non-olonomi, sistemi con termostato. Congettura jacobiana. Metodi topologici per problemi ai limiti associati a sistemi di equazioni differenziali: grado topologico e indice di Maslov. Applicazioni della teoria di Aubry-Mather allo studio di equazioni in risonanza. Problemi ai limiti associati ad equazioni differenziali stocastiche del secondo ordine. Equazioni differenziali ordinarie con perturbazione stocastica in dinamica di popolazioni. 

ANALISI NUMERICA 
Procedimenti innovativi per l’approssimazione numerica nei loro aspetti teorici e costruttivi, con particolare riferimento a: i) approssimazione di funzioni e  rappresentazione di curve e superfici mediante  spline univariate e bivariate e funzioni a base radiale; ii) operatori di approssimazione per problemi differenziali ed integrali e loro utilizzazione nelle Scienze Applicate. Metodi numerici per la biomatematica: studio di modelli di popolazioni interagenti, popolazioni strutturate, epidemie, epidemie in popolazioni interagenti. Analisi di metodi numerici per l'integrazione delle equazioni di evoluzione per detti modelli. Funzioni speciali della matematica applicata: aspetti teorici e computazionali. 


DIDATTICA DELLA MATEMATICA 
Analisi epistemologica e genetica dei concetti matematici, orientata ad una loro trasposizione didattica. 
Studio di modelli teorici interpretativi delle dinamiche di insegnamento-apprendimento della matematica. 
Analisi di situazioni didattiche: interpretazione dei processi cognitivi degli allievi, alla luce dei modelli teorici elaborati nell’ambito della ricerca didattica. 

FISICA MATEMATICA 
PDE della Fisica Matematica 
Sistemi dinamici e stabilità 
Metodi geometrici in fisica matematica 
Meccanica analitica 
Meccanica dei continui solidi 
Sistemi complessi e continui generalizzati con microstrutture 
Difetti in materiali con micro- e nano-struttura 
Propagazione di onde nonlineari in strutture complesse 
Relatività e teoria dei campi 
Modelli matematici e problemi di evoluzione nelle scienze applicate 

GEOMETRIA 
Geometria algebrica: classificazione di varietà algebriche; K-teoria e cicli algebrici; fibrati vettoriali; sistemi lineari e postulazione; varietà algebriche singolari; teoria di Hodge; curve, superfici e threefolds. 
Geometria reale: classificazione topologica di varietà reali; spazio dei moduli di curve algebriche reali. 
Geometria differenziale: varietà differenziabili e varietà analitiche, applicazioni armoniche, sistemi dinamici. 
Topologia: topologia algebrica; K-teoria; metodi topologici in geometria algebrica. 

LOGICA 
Teoria degli insiemi: teoria descrittiva e sue applicazioni; grandi cardinali e determinatezza. Teoria dei modelli: stabilita' e sue generalizzazioni a strutture non del prim'ordine. Matematica costruttiva e fondamenti della matematica intuizionista. Filosofia della logica e della matematica. 

PROBABILITA E STATISTICA MATEMATICA 
Problema del tempo di primo passaggio: sviluppo di metodi analitici e simulativi per processi di diffusione o di diffusione e salti attraverso barriere; metodi numerici e analitici per il problema inverso. Studio tramite metodi numerici e analitici di sistemi nonlineari in presenza di rumore. Misure di informazione e relativo utilizzo nello studio di processi stocastici. Metodi stocastici in neuroscienze. 

STORIA DELLE MATEMATICHE 
Analisi delle fonti storiche: interpretazione critica dei testi a stampa e dei manoscritti nel contesto matematico, storico, filosofico e culturale del periodo. Individuazione delle problematiche interne ed esterne connesse all’ideazione, allo studio e alla diffusione di concetti, metodi e teorie della matematica nelle varie epoche.

ALGEBRA

• Strutture algebriche (gruppi, anelli e polinomi, strutture dordine, reticoli, campi ed equazioni; teoria elementare dei numeri).
• Algebra lineare (spazi vettoriali di dimensione finita, matrici e loro forme canoniche, forme lineari, forme bilineari e quadratiche, cenni sulla dimensione infinita)
• Teoria dei gruppi (azioni di un gruppo su un insieme, gruppi finiti abeliani, gruppi risolubili, teoremi di Sylow, teoria di Galois e risolubilità delle equazioni algebriche)
• Algebra commutativa e geometria algebrica (anelli commutativi Noetheriani, varietà algebriche, dimensione, punti semplici, morfismi)

Testi di riferimento:
Birkhoff e McLane, Algebra
Herstein, Algebra
Atyah e Mc Donald, Algebra commutativa
Matzumura, Commutative algebra

ANALISI MATEMATICA E APPLICAZIONI

• Calcolo differenziale e integrale in R^n.
• Teorema delle contrazioni. Funzioni implicite.
• Elementi di analisi complessa: funzioni analitiche, teorema di Cauchy, teorema dei residui.
• Equazioni differenziali ordinarie: esistenza e unicità locale della soluzione di un Problema di Cauchy, sistemi lineari del primo ordine.
• Funzioni continue: teorema di Stone-Weierstrass e teoremi di Ascoli su equicontinuità e compattezza.
• Spazi di Banach, duale topologico, convergenza debole.
• Spazi di Hilbert. Teoria spettrale per operatori compatti.
• Teoria della misura e dell’integrazione. Spazi L^p.
• I teoremi fondamentali dell’analisi funzionale.
• Serie e trasformata di Fourier.
• Introduzione alla teoria delle distribuzioni.

Testi di riferimento:
Prodi, Analisi matematica
Fleming, Functions of several variables
Apostol, Mathematical analysis
Rudin, Principles of mathematical analysis
Cartan, Théorie élémentaire d’une ou plusieurs variables complexes
Hale, Ordinary differential equations
Royden, Real analysis
Rudin, Analisi reale e complessa
Brezis, Analisi funzionale
Kolmogorov-Fomine, Elementi di teoria delle funzioni e analisi funzionale

ANALISI NUMERICA E APPLICAZIONI

• Risoluzione di sistemi lineari con metodi diretti e con metodi iterativi
• Approssimazione di autovalori e autovettori
• Approssimazione di funzioni e dati
• Integrazione numerica
• Risoluzione numerica di equazioni differenziali

Testi di riferimento:
K.E. Atkinson, An Introduction to Numerical Analysis, 2nd  Ed.,  Wiley, New York, 1989
W. Gautschi, Numerical Analysis. An Introduction, Birkhauser, Basel, 1997
A. Quarteroni, R. Sacco, E. Saleri, Matematica Numerica, 2nd  Ed., Springer, Milano, 2000
D. Bini, M. Capovani et al., Metodi Numerici per l'Algebra Lineare, Zanichelli, Bologna, 1988

DIDATTICA DELLA MATEMATICA

• Conoscenza dei concetti matematici oggetto di trasposizione didattica.
• Conoscenza di alcuni ostacoli epistemologici e cognitivi nello sviluppo dei concetti matematici.
• Conoscenza dei programmi per l’insegnamento della matematica

Testi di riferimento:
Brousseau G., Theory of Didactical Situations in Mathematics, Kluwer Academic Publishers, Dordrecht (NL) 1997.
English L. D., Handbook of International Research in Mathematics Education, Lawrence Erlbaum Ass. Publishers, Mahwah, New Jersey, London 2002.
Freudenthal H., Didactical Phenomenology of Mathematical Structures, Kluwer Academic Publishers, Dordrecht (NL) 1983.

FISICA MATEMATICA

• Meccanica Newtoniana del punto, dei sistemi particellari e dei corpi rigidi
• Meccanica lagrangiana e hamiltoniana
• Strutture matematiche della relatività speciale
• Nozioni elementari sui sistemi dinamici
• Nozioni elementari sulle equazioni iperboliche, paraboliche ed ellittiche della fisica matematica

Testi di riferimento:
 Arnold, Metodi moderni della meccanica classica
Fasano, Marmi, Meccanica analitica
Rindler, Essential relativity
Tykhonov e Samarski, Partial differential equations of mathematical physics

GEOMETRIA

• Geometria analitica affine e proiettiva: metodo delle coordinate cartesiane e omogenee, applicazioni dell'algebra lineare, curve algebriche nel piano.
• Topologia: spazi topologici, compattezza, connessione, separazione, prodotti e quozienti, spazi metrici.
• Topologia algebrica: omotopia e gruppo fondamentale, rivestimenti, omologia simpliciale e singolare.
• Geometria differenziale: curve e superfici nello spazio, forme differenziali e loro integrazione, campi vettoriali; algebra multilineare, algebra esterna, varietà differenziabili, elementi di geometria Riemanniana, teorema di Gauss-Bonnet.
• Geometria algebrica: varietà algebriche affini e proiettive, spazio tangente, punti singolari, ordine di una varietà proiettiva, cono tangente e molteplicità di un punto.

Testi di riferimento:
Boothby, An introduction to differentiable manifolds and Riemannian geometry
Do Carmo, Differential geometry on curves and surfaces
Fulton, Algebraic curves
Fulton, Topology: a first course
Hatcher, Algebraic topology
Gray, Modern differential geometry of curves and surfaces
Greenberg, Lectures in algebraic topology
Kelley, General topology
Kendig, Elementary algebraic geometry
Massey, Algebraic topology: an introduction
Reid, Undergraduate algebraic geometry
Sernesi, Geometria I e II
Warner, Foundations of differential manifolds and Lie groups

LOGICA MATEMATICA

• Logica proposizionale e predicativa, teoremi di incompletezza.
• Teoria dei modelli: linguaggi, strutture, teoremi di  completezza, compattezza, Lowenhein-Skolem, ultraprodotti.
• Teoria degli insiemi: assiomi di ZF, l'assioma di scelta, ordinali e cardinali, l'ipotesi del continuo.
• Teoria della ricorsivita': funzioni ricorsive e ricorsive primitive, insiemi ricorsivi e ricorsivamente enumerabili, teorema di forma normale di Kleene.

Testi di riferimento:
Shoenfield, Mathematical Logic, AKPeters 2001 (edizione italiana: Boringhieri)
Chang & Keisler, Model Theory, North Holland 1986 (edizione italiana: Boringhieri)
Kunen, Set theory, North Holland 1980
Rogers, Theory of recursive functions and effective computability, MIT Press 1987

PROBABILITA E STATISTICA MATEMATICA

• Fondamenti: eventi, esperimenti e probabilità
• Probabilità condizionata e indipendenza
• Variabili aleatorie e loro leggi di probabilità; principali distribuzioni discrete e continue; momenti di variabili aleatorie; correlazione e indipendenza
• Funzioni caratteristiche e funzioni generatrici dei momenti
• Tipi di convergenza per successioni di variabili aleatorie; legge dei grandi numeri; teorema del limite centrale
• Medie condizionate e relativi teoremi
• Catene di Markov
• Proprietà elementari del processo di Poisson e del moto Browniano - Campionamento
• Stima puntuale di parametri
• Test di ipotesi relativi a parametri e distribuzioni
• Modello lineare generale; regressione lineare

Testi di riferimento:
Bickel, Doksum, Mathematical Statistics: basic ideas and selected topics, Holden Day
Chung, A course in Probability Theory, Springer Verlag
Dall'Aglio, Calcolo delle Probabilità, Zanichelli
Di Crescenzo, Ricciardi, Elementi di Statistica, Liguori
Feller, An introduction to Probability Theory and its Applications, Wiley
Freund, Mathematical Statistics, Prentice Hall
Karlin, Taylor, A first course in Stochastic Processes, Academic Press
Mood, Graybill, Boes, Introduction to the Theory of Statistics, Mc Graw Hill
Ross, An introduction to Probability Models, Academic Press
Shiryaev, Probability, Springer Verlag

STORIA DELLE MATEMATICHE

• Storia dei concetti matematici e dell’evoluzione delle teorie nei diversi settori della matematica dall’antichità al secolo XX.
• Trasmissione della ricerca e del sapere matematico attraverso organi di stampa (riviste, opere e trattati), manoscritti e carteggi, insegnamenti e scuole, circoli privati e accademie.

Testi di riferimento:
Boyer C., Storia della matematica, Mondadori, Milano 1980
Dieudonné J., Abrégé d’histoire de mathématiques, 1700-1900, Hermann, Paris 1978
Fauvel J., Gray J., The History of Mathematics. A Reader, Macmillan, London 1987
Kline M, Storia del pensiero matematico, Einaudi, Torino 1996.

• Corsi
• Elenco docenti
• Elenco dottorandi
• Tesi di dottorato dal XIX al XXIII ciclo
• Verbali Collegio docenti del dottorato