Metodi, algoritmi e applicazioni dell'approssimazione multivariata
Aree / Gruppi di ricerca
Partecipanti al progetto
- Cavoretto Roberto (Ricercatore)
- De Rossi Alessandra (Coordinatore)
Descrizione del progetto
Il progetto si prefigge di sviluppare e approfondire le seguenti linee di studio e ricerca.
- Nel campo dell'approssimazione polinomiale multivariata, ci si occuperà principalmente di disuguaglianze polinomiali discrete e metodi numerici in teoria del pluri-potenziale e della compressione di misure discrete con la tecnica del 'Caratheodory-Tchakaloff subsampling'. Tra le applicazioni in sviluppo ci sono la costruzione di reti efficienti di sensori per l'analisi geospaziale, l'ottimizzazione polinomiale su poliedri o domini stellati, l'ottimizzazione di formule di quadratsu geometrie complesse (elementi/volumi finiti in fluidodinamica computazionale, metodo del ray tracing in ottica computazionale).
- Si desidera approfondire l'uso di funzioni radiali di base di tipo razionale (R-RBF) nell'interpolazione di dati sparsi su manifolds e nella ricostruzione di immagini mediche. Questa nuova classe di funzioni ha dimostrato di adattarsi bene quando ci sono discontinuità. Usando strategie implementative quali l'uso di VSK (Variably Scaled Kernels) e metodi veloci di ricerca dell'autovalore minimo di matrici definite positive, le R-RBF si stanno dimostrando un ottimo strumento di approssimazione. Inoltre recentemente sono stati proposti algoritmi numerici per l'intepolazione multivariata mediante il metodo di partizione dell'unità combinato con RBF. In alcuni casi però, la scelta di partizionare il dominio con sottodomini di forma ipersferica e di usare RBF isotropiche non è adatta. Per questa ragione, si propone di studiare uno schema di interpolazione RBF-PUM che si basa sull'uso di sottodomini variabili di forma ellittica e di kernel radiali anisotropici.
- L'operatore triangolare di Shepard ha una velocità di convergenza quadratica e nel caso di triangolazioni compatte risulta un metodo efficiente per l'interpolazione di dati sparsi. Saranno studiati possibili miglioramenti mediante l'uso di interpolanti locali sul triangolo o basi multinodo. Sulla base dei risultati conseguiti recentemente sui metodi di collocazione basati su particolari matrici operazionali utilizzati per la soluzione numerica di problemi differenziali al valore iniziale e al bordo, si cercherà di unificare il metodo, estendendolo alla soluzione di PDEs.
- Una linea di ricerca prevede lo studio e l'approfondimento di metodi per il riconoscimento di profili curvilinei affetti da rumore in immagini digitali. In particolare si è interessati all'uso di spline sia polinomiali che esponenziali in combinata con la trasformata Hough. L'idea è quella di utilizzare la trasformata Hough di curve polinomiali ed esponenziali di grado basso, a tratti, in modo da costruire in modo semi-automatico il profilo dell'immagine anche in presenza di rumore consistente. Un'altra ricerca si inserisce nell'ambito dell'analisi di regolarità di funzioni limite di schemi di suddivisione. Lo scopo dello studio è quello di costruire una famiglia di wavelet tight frames semiregolari da utilizzare per stimare la Holder regolarità della funzione limite di un qualunque
schema di suddivisione semi-regolare. La ricerca intende inoltre considerare la costruzione di schemi di suddivisione bivariati non lineari che riproducono funzioni polinomiali-esponenziali anche a tratti usando degli operatori differenziali discreti.
- Alla luce degli studi condotti precedentemente l'attività di ricerca sarà rivolta all'individuazione di strategie correttive per migliorare l'accuratezza numerica dell'approssimazione della funzione e sue derivate mediante i metodi meshless adottati. A tal proposito si intende procedere con studi teorici e applicati degli schemi correttivi. I metodi meshless si sono dimostrati utili e validi strumenti di approssimazione nella dinamica di sistemi eco-epidemiologici. Sono stati analizzati sistemi dinamici, mediante l'approssimazione Moving Least Squares della superficie che separa i bacini di attrazione. Si continuerà a lavorare per la riduzione del costo computazionale nella ricerca dei punti sparsi appartenenti alla superficie separatrice e si intende estendere lo studio alla trattazione numerica di modelli multistabili con attrattori strani mediante l'analisi dei punti sella.
- Per l'approssimazione polinomiale discreta sulla superficie sferica, studiamo medie generalizzate di de la Vall\'ee Poussin di polinomi approssimanti ai minimi quadrati. Obiettivo di tale ricerca
è provare che l'approssimazione fornita è quasi ottimale, comparabile con quella data dai cosiddetti filtered hyperinterpolation polynomials, ma più vantaggiosa dal punto di vista computazionale.
- Per quanto riguarda i metodi di approssimazione globali per equazioni integrali, si è maturata negli ultimi anni una consolidata esperienza nel trattamento numerico di equazioni integrali di seconda specie, anche con operatori non compatti e nel caso bidimensionale, mediante tecniche globali basate sull'approssimazione polinomiale. Il progetto ha come scopo principale la costruzione di metodi efficienti per l'approssimazione delle soluzioni di equazioni integrali. Saranno proposti metodi di tipo Nystrom e/o collocazione per equazioni di Fredholm su domini limitati e non del piano, per equazioni singolari di Cauchy ed equazioni integro-differenziali ipersingolari, entrambe nel quadrato unitario, e infine per equazioni integrali al contorno su curve o superfici regolari a tratti. Saranno inoltre studiati polinomi ortogonali e connessi processi di approssimazione polinomiale in nuovi spazi funzionali con pesi non standard.
- Si vogliono proporre metodi "kernel-based" per l'edge detection. In particolare, partendo dai kernel a scala variabile introdotti in precedenza, si vogliono studiare metodi basati sull'identificazione dei massimi locali dei coefficienti di opportune interpolanti. Un secondo obiettivo è quello di considerare segnali campionati su dati sparsi. In questo caso oltre ai massimi locali dei coefficienti si pensa di analizzare la norma dell'interpolante nello spazio nativo della base scelta. Sempre nell'ambito dell'elaborazione di segnali, in presenza di fenomeni anisotropi
è opportuno utilizzare trasformate di tipo direzionale e il concetto di analisi multirisolutiva multipla (MMRA). Si è fornita in passato una prima costruzione dei filterbank. Gli obiettivi sono di generalizzare il lavoro a una dimensione qualsiasi e di studiare/costruire filterbank ortogonali, biortogonali per MMRA che sfruttano matrici di scala anisotropiche.
Note
Partecipanti non UniTo:- Donatella Occorsio, Maria Grazia Russo, Maria Concetta De Bonis, Concetta Laurita, Incoronata Notarangelo, Giada Serafini (Università della Basilicata);
- Luisa Fermo (Università di Cagliari);
- Marco Vianello, Stefano De Marchi, Alvise Sommariva, Federico Piazzon, Emma Perracchione, Cristina Campi (Università di Padova);
- Leonard Peter Bos, Marco Caliari (Università di Verona);
- Milvia Rossini, Lucia Romani, Daniela Schenone, Alberto Viscardi (Università di Milano-Bicocca);
- Costanza Conti (Università di Firenze);
- Woula Temistoclakis (CNR-IAC, Napoli);
- Francesco Dell'Accio, Anna Napoli, Filomena Di Tommaso (Università della Calabria);
- Elisa Francomano, Marta Paliaga (Università di Palermo)